Multivariate Normal Distribution

Author

Eric W. Weisstein
January 2, 2004

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Statistics/MultivariateNormalDistribution.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/MultivariateNormalDistribution.html.

©2005 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Initialization

<<Statistics`MultinormalDistribution`

Multinormal[n_]:=PDF[MultinormalDistribution[Table[Subscript[μ,k],{k,n}],Map[Sort,Array[σ,{n,n}],{2}]/.σ[l__]:>Subscript[σ,l]],Table[Subscript[x,k],{k,n}]]

1-variate

Multinormal[1]

2-variate

Multinormal[2]

m2=Simplify[Multinormal[2] /. {-(Subscript[σ, 1,2]^2)+(Subscript[σ, 1,1]) (Subscript[σ, 2,2])->(1-ρ^2)(Subscript[σ, 1])^2(Subscript[σ, 2])^2}/.{(Subscript[σ, 1,1])->(Subscript[σ, 1])^2,(Subscript[σ, 2,2])->(Subscript[σ, 2])^2,(Subscript[σ, 1,2])->(Subscript[σ, 12])},{0<ρ<1,(Subscript[σ, 1])>0,(Subscript[σ, 2])>0}]

Arbitrary Mean

FullSimplify[m2]//Timing

x1=FullSimplify[(((Subscript[σ, 2]^2)((((Subscript[x, 1])-(Subscript[μ, 1])))^2)+((Subscript[x, 2])-(Subscript[μ, 2])) (((Subscript[x, 2])-(Subscript[μ, 2])) (Subscript[σ, 1]^2)+2 (-(Subscript[x, 1])+(Subscript[μ, 1])) (Subscript[σ, 12])))/(2 (-1+(ρ^2)) (Subscript[σ, 1]^2)(Subscript[σ, 2]^2))) /. (Subscript[σ, 12]):>ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])]

FullSimplify[Together[((Subscript[x, 1])-(Subscript[μ, 1]))^2/(Subscript[σ, 1]^2)-2 ρ ((Subscript[x, 1])-(Subscript[μ, 1]))((Subscript[x, 2])-(Subscript[μ, 2]))/((Subscript[σ, 1]) (Subscript[σ, 2]))+((Subscript[x, 2])-(Subscript[μ, 2]))^2/ (Subscript[σ, 2]^2)]]

Simplify[(((Subscript[σ, 1]^2)((((Subscript[x, 2])-(Subscript[μ, 2])))^2)+((Subscript[x, 1])-(Subscript[μ, 1])) (Subscript[σ, 2]) (2 ρ (-(Subscript[x, 2])+(Subscript[μ, 2])) (Subscript[σ, 1])+((Subscript[x, 1])-(Subscript[μ, 1])) (Subscript[σ, 2])))/(2 (-1+(ρ^2))(Subscript[σ, 2]^2)(Subscript[σ, 1]^2)))]

x2=%

Simplify[x1-x2]

3-variate

Multinormal[3]

Simplify[Multinormal[3] /. -(Subscript[σ, 1,3]^2) (Subscript[σ, 2,2])+2 (Subscript[σ, 1,2]) (Subscript[σ, 1,3]) (Subscript[σ, 2,3])-(Subscript[σ, 1,1]) (Subscript[σ, 2,3]^2)-(Subscript[σ, 1,2]^2) (Subscript[σ, 3,3])+(Subscript[σ, 1,1]) (Subscript[σ, 2,2]) (Subscript[σ, 3,3])->ρ]

FullSimplify[%]